Сценарий замечает появление досок в Trello и сам обновляет файлы в Dropbox. Работает само, без ручного переноса.
Перенос данных из Trello в Dropbox делается готовым сценарием: он сам замечает новое и переносит его.
Эту интеграцию Trello и Dropbox можно запустить в Scriptera: опишите задачу словами — сценарий соберут, запустят и будут следить, чтобы он работал.