Сценарий замечает появление писем в gmail и сам запускает запросы в Pushbullet. Работает само, без ручного переноса.
Чтобы данные из Pushbullet автоматически попадали в Gmail, достаточно готового сценария — без выгрузок руками.
Настроить такую автоматизацию (Pushbullet + Gmail) можно в Scriptera — без кода: опишите задачу, остальное сделают за вас.