Сценарий замечает появление пушей в customerIo и сам отправляет письма в Gmail. Работает само, без ручного переноса.
Перенос данных из Gmail в Customer.io делается готовым сценарием: он сам замечает новое и переносит его.
Настроить такую автоматизацию (Gmail + Customer.io) можно в Scriptera — без кода: опишите задачу, остальное сделают за вас.