Сценарий замечает появление пушей в customerIo и сам находит письма в Mailcheck. Работает само, без ручного переноса.
Перенос данных из Box в Mailcheck делается готовым сценарием: он сам замечает новое и переносит его.
Эту интеграцию Box и Mailcheck можно запустить в Scriptera: опишите задачу словами — сценарий соберут, запустят и будут следить, чтобы он работал.