Сценарий замечает появление сообщений в Matrix и сам находит письма в Gmail. Работает само, без ручного переноса.
Уведомления из Matrix в Gmail настраиваются готовым сценарием: он ловит событие и сразу шлёт сообщение.
Такой сценарий можно запустить в Scriptera: задача описывается обычными словами, сборка и запуск — на стороне сервиса.