Чтобы заявки из Bitrix24 сами попадали в BambooHR, достаточно готового сценария — без ручного переноса и потерь.
Эту интеграцию Bitrix24 и BambooHR можно запустить в Scriptera: опишите задачу словами — сценарий соберут, запустят и будут следить, чтобы он работал.