Новое письмо проверяется по вашему условию и, если подходит, пересылается в мессенджер — остальное не отвлекает.
Интеграция Customer.io и mangoOffice собирается из готового сценария — вот как он устроен по шагам.
Настроить такую автоматизацию (Customer.io + mangoOffice) можно в Scriptera — без кода: опишите задачу, остальное сделают за вас.